An Seachtú hAirle. Ceist.

Ar aon taobh den aon líne ní féidir dhá thrianosgal do bheith gur cómha acu an dá [thaobh] a chómhracas i gcrích den líne úd, ⁊ mar an gcéanna an dá thaobh a chómhracas sa chrích eile.

Más féidir é, bíodh an dá thrianosgal, i. CAB ⁊ DAB, ar aon taobh den aon líne AB, ⁊ gur cómha CA ⁊ DA ag cómhrac i nA, ⁊ gur cómha mar an gcéanna CB ⁊ DB ag cómhrac i mB.

Cuir CD. Ar dtúis, bíodh C lasmuich den trianosgal DAB.

Ansan, is cómha AC ⁊ AD. Dá bhrí sin is cómha an t-osgal ACD ⁊ an t-osgal ADC.

Is lú, ámh, BCD ná ACD, óir is lú an chuid ná an uile.

Dá bhrí sin is lú BCD ná ADC.

Is mó ná san is lú BCD ná BDC, óir is mó BDC ná ADC.

Dá bhrí sin ní cómha BCD ⁊ BDC.

Airís: is cómha BC ⁊ BD. Dá bhrí sin is cómha BCD ⁊ BDC, i. is cómha iad ⁊ ní cómha iad, i. ní nách fíor.

Dá bhrí sin ní fíor gur cómha AC ⁊ AD, an fhaid is cómha BC ⁊ BD. Óir, i n-áiteamh chruinn, ní féidir neamhfhíor d'fhás à fíor.

Cuir i gcás go bhfuil an eó C laistig den trianosgal ADB.

Lean AD go hE ⁊ AC go hF. [Cuir CD.]

Is cómha, más fíor, AD ⁊ AC. Dá bhrí sin is cómha na hosgail lasmuich, i. EDC ⁊ FCD.

Ach is lú an chuid, i. BDC, ná an uile, i. EDC. Dá bhrí sin is lú BDC ná FCD, ⁊ go mór mór ná BCD.

Is cómha, ámh, más fíor, BC ⁊ BD. Dá bhrí sin is cómha BDC ⁊ BCD, i. is cómha iad ⁊ ní cómha iad. Sin baos.

Dá bhrí sin, más cómha AD ⁊ AC, ní cómha BC ⁊ BD; nú más cómha BC ⁊ BD, ní cómha AD ⁊ AC.

Dá bhrí sin, Ar aon taobh, etc.

An Seachtú Tairiscint. Teoirim.

Ar aon taobh den aon líne ní féidir dhá thriantán a bheith gur comhionann acu an dá [thaobh] a chomhraiceann i gcrích den líne úd, agus mar an gcéanna an dá thaobh a chomhraiceann sa chrích eile.

Más féidir é, bíodh an dá thriantán, i. CAB agus DAB, ar aon taobh den aon líne AB, agus gur comhionann CA agus DA ag comhrac in A, agus gur comhionann mar an gcéanna CB agus DB ag comhrac i mB.

Cuir CD. Ar dtús, bíodh C lasmuigh den triantán DAB.

Ansin, is comhionann AC agus AD. Dá bhrí sin is comhionann an uillinn ACD agus an uillinn ADC.

Is lú, ámh, BCD ná ACD, óir is lú an chuid ná an uile.

Dá bhrí sin is lú BCD ná ADC.

Is mó ná sin is lú BCD ná BDC, óir is mó BDC ná ADC.

Dá bhrí sin ní comhionann BCD agus BDC.

Arís: is comhionann BC agus BD. Dá bhrí sin is comhionann BCD agus BDC, i. is comhionann iad agus ní comhionann iad, i. ní nach fíor.

Dá bhrí sin ní fíor gur comhionann AC agus AD, an fad is comhionann BC agus BD. Óir, in áitiú cruinn, ní féidir neamhfhíor d'fhás as fíor.

Cuir i gcás go bhfuil an pointe C laistigh den triantán ADB.

Lean AD go hE agus AC go F. [Cuir CD.]

Is comhionann, más fíor, AD agus AC. Dá bhrí sin is comhionann na huillinneacha lasmuigh, i. EDC agus FCD.

Ach is lú an chuid, i. BDC, ná an uile, i. EDC. Dá bhrí sin is lú BDC ná FCD, agus go mór mór ná BCD.

Is comhionann, ámh, más fíor, BC agus BD. Dá bhrí sin is comhionann BDC agus BCD, i. is comhionann iad agus ní comhionann iad. Sin baois.

Dá bhrí sin, más comhionann AD agus AC, ní comhionann BC agus BD; nó más comhionann BC agus BD, ní comhionann AD agus AC.

Dá bhrí sin, Ar aon taobh, etc.