An tAonú hAirle Déag. Cleas.

A sain-eó i líne dhíreach cheaptha líne do chur côdhíreach, nú fé dhíorosgalaibh.

AB an líne ceaptha. Glac aon dá eó ann, C ⁊ D, côfhaid ón sain-eó, i, E, à los an tríú hairle.

Cuir, à los an chéad airle, trianosgal côlíneach ar CD, i. CFD. Cuir FE.

Is côdhíreach ar AB FE, as an eó E, i. as an sain-eó.

Froma. Is cómha CF ⁊ FD ó ghléas. Is céanna FE ag an dá thrianosgal CFE ⁊ DFE. Is cómha CE ⁊ ED ó ghléas.

Dè sin, sa dá thrianosgal CFE ⁊ DFE is cómha fé leith CE, EF, FC, ⁊ DE, EF, FD.

Dá bhrí sin, à los an ochtú hairle, is cómha an dá osgal CEF ⁊ DEF.

Dá bhrí sin is díorosgal gach osgal díobh.

Dá bhrí sin tá EF côdhíreach ar AB, agus is ag E atá san.

Dá bhrí sin is déanta an cleas, i. líne as an sain-eó E, côdhíreach ar AB.

Is ní de bhárr na hairle sin gur sain treó ag líne díreach.

Mara sain, gabhadh an líne AB dhá threó, i. treó C ⁊ treó D.

Cuir, à los na hairle thuas, côdhíreach ar AC à B, i. BE.

Ansan, tá BE côdhíreach ar AC. Dè sin, is cómha ABE ⁊ EBC.

Tá BE côdhíreach ar AD, mar tá sé côdhíreach ar AB ⁊ níl i nAD ach AB do leanúint. Dè sin is cómha ABE ⁊ EBD.

Ach is cómha iad cómha an chéanna. Dá bhrí sin is cómha EBC ⁊ EBD.

Ach is follas gur cuid den osgal EBD an t-osgal EBC, i. is cómha an uile ⁊ an chuid, — ní nách fíor.

D'fhás an ní sin as a rá go bhféadfadh AB gabháil dhá threó. Dá bhrí sin ní fhéadfadh.

Dá bhrí sin is sain treó ag gach líne díreach. Agus is réig an cheist.

An tAonú Tairiscint Déag. Fadhb.

As sainphointe i líne dhíreach cheaptha líne a chur ingearach, nó faoi dhronuillinneacha.

AB an líne ceaptha. Glac aon dá phointe inti, C agus D, comhfhad ón sainphointe, i, E, as los an tríú tairiscint.

Cuir, as los an chéad tairiscint, triantán comhshleasach ar CD, i. CFD. Cuir FE.

Is ingearach ar AB FE, as an pointe E, i. as an sainphointe.

Cruthúnas. Is comhionann CF agus FD ó thógáil. Is céanna FE ag an dá thriantán CFE agus DFE. Is comhionann CE agus ED ó thógáil.

Dá bhrí sin, sa dá thriantán CFE agus DFE is comhionann faoi leith CE, EF, FC, agus DE, EF, FD.

Dá bhrí sin, as los an t-ochtú tairiscint, is comhionann an dá uillinn CEF agus DEF.

Dá bhrí sin is dronuillinn gach uillinn díobh.

Dá bhrí sin tá EF ingearach ar AB, agus is ag E atá sin.

Dá bhrí sin is déanta an fhadhb, i. líne as an sainphointe E, ingearach ar AB.

Agus ní de bharr na tairisceana sin gur saintreo ag líne díreach.

Murab é sin, gabhadh an líne AB dhá threo, i. treo C agus treo D.

Cuir, as los na tairisceana thuas, ingearach ar AC as B, i. BE.

Ansin, tá BE ingearach ar AC. Dá bhrí sin, is comhionann ABE agus EBC.

Tá BE ingearach ar AD, mar tá sé ingearach ar AB agus níl in AD ach AB a leanúint. Dá bhrí sin is comhionann ABE agus EBD.

Ach is comhionann iad comhionainn an chéanna. Dá bhrí sin is comhionann EBC agus EBD.

Ach is follas gur cuid den uillinn EBD an uillinn EBC, i. is comhionann an uile agus an chuid, — ní nach fíor.

D'fhás an ní sin as a rá go bhféadfadh AB gabháil dhá threo. Dá bhrí sin ní fhéadfadh.

Dá bhrí sin agus saintreo ag gach líne díreach. Agus is réidh an cheist.