An tAonú hAirleTairiscint Déag. CleasFadhb.

AAs sain-eósainphointe i líne dhíreach cheaptha líne doa chur côdhíreachingearach, núnó féfaoi dhíorosgalaibhdhronuillinneacha.

AB an líne ceaptha. Glac aon dá eóphointe anninti, C ⁊agus D, côfhaidcomhfhad ón sain-eósainphointe, i, E, à losas los an tríú hairletairiscint.

Cuir, à losas los an chéad airletairiscint, trianosgaltriantán côlíneachcomhshleasach ar CD, i. CFD. Cuir FE.

Is côdhíreachingearach ar AB FE, as an eópointe E, i. as an sain-eósainphointe.

FromaCruthúnas. Is cómhaIs comhionann CF ⁊agus FD ó ghléasthógáil. Is céanna FE ag an dá thrianosgalthriantán CFE ⁊agus DFE. Is cómhaIs comhionann CE ⁊agus ED ó ghléasthógáil.

DèDá bhrí sin, sa dá thrianosgalthriantán CFE ⁊agus DFE is cómhais comhionann féfaoi leith CE, EF, FC, ⁊agus DE, EF, FD.

Dá bhrí sin, à losas los an ochtút-ochtú hairletairiscint, is cómhais comhionann an dá osgaluillinn CEF ⁊agus DEF.

Dá bhrí sin is díorosgaldronuillinn gach osgaluillinn díobh.

Dá bhrí sin tá EF côdhíreachingearach ar AB, agus is ag E atá sansin.

Dá bhrí sin is déanta an cleasfhadhb, i. líne as an sain-eósainphointe E, côdhíreachingearach ar AB.

IsAgus ní de bhárrbharr na hairletairisceana sin gur sain treósaintreo ag líne díreach.

MaraMurab é sainsin, gabhadh an líne AB dhá threóthreo, i. treótreo C ⁊agus treótreo D.

Cuir, à losas los na hairletairisceana thuas, côdhíreachingearach ar AC àas B, i. BE.

AnsanAnsin, tá BE côdhíreachingearach ar AC. DèDá bhrí sin, is cómhais comhionann ABE ⁊agus EBC.

Tá BE côdhíreachingearach ar AD, mar tá sé côdhíreachingearach ar AB ⁊agus níl iin nADAD ach AB doa leanúint. DèDá bhrí sin is cómhais comhionann ABE ⁊agus EBD.

Ach is cómhais comhionann iad cómhacomhionainn an chéanna. Dá bhrí sin is cómhais comhionann EBC ⁊agus EBD.

Ach is follas gur cuid den osgaluillinn EBD an t-osgaluillinn EBC, i. is cómhais comhionann an uile ⁊agus an chuid, — ní náchnach fíor.

D'fhás an ní sin as a rá go bhféadfadh AB gabháil dhá threóthreo. Dá bhrí sin ní fhéadfadh.

Dá bhrí sin isagus sain treósaintreo ag gach líne díreach. Agus is réigréidh an cheist.