An Tríú hAirle Déag. Ceist.

An dá osgal a dhinean líne díreach i n-aice 'chéile ag cómhrac dó ar meán líne dhírig eile, is dá dhíorosgal iad, nú is cómha a méid ⁊ méid dhá dhíorosgal.

ADC ⁊ BDC an dá osgal a dhinean CD i n-aice 'chéile, ag cómhrac dò ar AB. Is dá dhíorosgal iad, nú is cómha a méid i n-aonacht ⁊ méid dá dhíorosgal i n-aonacht.

Froma. Más cómha ADC ⁊ BDC is dá dhíorosgal iad cheana, à los an naeú sain-rá, ⁊ tá DC côdhíreach ar AB.

Mara bhfuil, cuir DE (sa dara deilbh) côdhíreach ar AB, à los an aonú hairle déag.

Ansan, is cómha an t-osgal EDB ⁊ a choda uile, i. EDC ⁊ CDB.

Ar na cómhaibh sin cuir an céanna, i. EDA. Má curtar cómha ar chómhaibh, is cómha is dè; dá bhrí sin is cómha EDB go nEDA ⁊ EDC go CDB go nEDA.

Airís, is cómha ADC ⁊ a choda uile, i. ADE ⁊ EDC.

Ar na cómhaibh sin cuir an céanna, i. CDB. Dè sin, mar atá thuas, is cómha ADC go CDB ⁊ ADE go nEDC go CDB.

Chítear anois gur céanna ADE go nEDC go CDB, gur cómha an céanna san ⁊ an dá dhíorosgal, i. ADE ⁊ EDB, ⁊ gur cómha é féin ⁊ an dá osgal eile, i. ADC ⁊ CDB. Dá bhrí sin is cómha an dá dhíorosgal ⁊ an dá osgal eile.

Ar an gcuma gcéanna is féidir a nochta gur cómha an dá dhíorosgal ⁊ aon dá osgal d'fhéadfadh CD do dhéanamh le hAB, i n-aice 'chéile.

Dá bhrí sin is fíor an airle thuas.

An Tríú Tairiscint Déag. Teoirim.

An dá uillinn a dhéanann líne dhíreach in aice lena chéile ag comhrac dó ar mheán líne dhíreach eile, is dhá dhronuillinn iad, nó is comhionann a méid agus méid dhá dhronuillinn.

ADC agus BDC an dá uillinn a dhéanann CD in aice lena chéile, ag comhrac dó ar AB. Is dá dhronuillinn iad, nó is comhionann a méid in éineacht agus méid dá dhronuillinn in éineacht.

Cruthúnas. Más comhionann ADC agus BDC is dá dhronuillinn iad cheana, as los an naoú sainrá, agus tá DC ingearach ar AB.

Mura bhfuil, cuir DE (sa dara deilbh) ingearach ar AB, as los an aonú tairiscint déag.

Ansin, is comhionann an uillinn EDB agus a codanna uile, i. EDC agus CDB.

Ar na nithe comhionanna sin cuir an céanna, i. EDA. Má chuirtear nithe comhionanna ar nithe comhionanna, is comhionann is de; dá bhrí sin is comhionann EDB móide EDA agus EDC móide CDB móide EDA.

Arís, is comhionann ADC agus a codanna uile, i. ADE agus EDC.

Ar na nithe comhionanna sin cuir an céanna, i. CDB. Dá bhrí sin, mar atá thuas, is comhionann ADC móide CDB agus ADE móide EDC móide CDB.

Feictear anois gur céanna ADE móide EDC móide CDB, gur comhionann an céanna sin agus an dá dhronuillinn, i. ADE agus EDB, agus gur comhionann é féin agus an dá uillinn eile, i. ADC agus CDB. Dá bhrí sin is comhionann an dá dhronuillinn agus an dá uillinn eile.

Ar an gcuma chéanna is féidir a nochtadh gur comhionann an dá dhronuillinn agus aon dá uillinn d'fhéadfadh CD a dhéanamh le hAB, in aice lena chéile.

Dá bhrí sin is fíor an tairiscint thuas.